k ∫ → π Lorsque le courant est appliqué, l’armature recule dans le bobinage. ± {\displaystyle R} a ) r Le champ magnétique à l' intérieur d'un solénoïde infiniment long est homogène et sa force ne dépend ni de la distance de l'axe ni de la section transversale du solénoïde.. Il s'agit d'une dérivation de la densité de flux magnétique autour d'un solénoïde qui est suffisamment longue pour que les effets de frange puissent être ignorés. r En multipliant le second terme par + En faisant tendre ln Ceci permet d'induire l'induction magnétique. o B {\displaystyle R} ∫ 2 ( ] 2 i Application 2 : On considère un solénoïde infini comportant n = 1,2. r → D = . Un solénoïde (du grec « solen », « tuyau », « conduit », et « eidos », « en forme de[1] ») est un dispositif constitué d'un fil électrique en métal enroulé régulièrement en hélice de façon à former une bobine longue. θ i {\displaystyle \Phi =N\times B\times S}. 2 On calcule le champ magnétique par le théorème d'Ampère dans le cas d'un solénoïde infini. 4 [ θ d 2 ( , et qu'il ne dépend que de r (la distance à l'axe de révolution), de telle sorte que l'on a : En appliquant le théorème d'Ampère, on peut calculer le champ magnétique à l'intérieur du solénoïde. l A = tan I Le champ magnétique est uniforme à l’intérieur comme à l’extérieur du solénoïde mais pas avec la même valeur. {\displaystyle L={\frac {\mu _{0}N^{2}}{\pi }}\left[y\,\ln \left({\frac {x}{a}}\right)+x\,\ln \left({\frac {y}{a}}\right)\right]} 1 = r est l'intensité dans le filament, ∫ ] [ Elle possède aussi des propriétés électromagnétiques car associée à un aimant (électroaimant) ou une autre bobine (transformateur, bobines de Helmholtz...) peut servir de transformateur de tension, de mécanisme de moteur, d'interrupteur ou encore de microphones. {\displaystyle B={\frac {\mu _{0}\,N\,i}{l}}}. ] 2 μ L'unité de l'inductance est le henry (H) en l'honneur de Joseph Henry, un scientifique américain qui a découvert le phénomène d'induction électromagnétique indépendamment des recherches qu'a effectué l'anglais Michael Faraday. B Exercice 4 : Spire dans un solénoïde infini Un solénoïde très long comporte n spires par unité de longueur, de rayon R, est parcouru par un courant d’intensité I constante. ( {\displaystyle A_{\theta }={\frac {a\mu nI}{2\pi }}\int _{-{\frac {L}{2}}}^{\frac {L}{2}}dl\int _{0}^{\pi }{\frac {cos\theta d\theta }{\sqrt {(z-l)^{2}+r^{2}+a^{2}-2arcos\theta }}}}. k + n I r 1 θ π d {\displaystyle \xi _{\pm }=z\pm {\frac {L}{2}}} d = {\displaystyle \nabla .B=0} c s = 2 n − = d θ 0 La notion de flux impose qu'il faut prendre en compte la composante de temps. ∫ ξ + r Le corps de l'électro-aimant est aligné sur ses rainures et des roulements à billes facilitent le déplacement. {\displaystyle A_{\theta }={\frac {a^{2}\mu nIr}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\left[{\frac {\xi sin^{2}\theta d\theta }{(a^{2}+r^{2}-2arcos\theta ){\sqrt {\xi ^{2}+r^{2}+a^{2}-2arcos\theta }}}}\right]_{\xi _{-}}^{\xi _{+}}}. r θ 2 μ 2 On peut également exprimer ces équations en fonction d’intégrales elliptiques : B r 2 ∂ K A On cherche ici à calculer l'inductance à partir du flux traversant un solénoïde. θ B ) {\displaystyle N} d π + a ξ x Spire circulaire (sur l’axe) c. Solénoïde infini (sur l’axe)II- Lois Fondamentales de la magnétostatique 1. a − 2 Edmund E. Callaghan et Stephen H. Maslen. ] θ I ξ B ℓ ( → a [ μ μ Pour un solénoïde fait d'une série de n spires circulaires par unité de longueur ( = s ξ A N z c + 2 θ On remarque que le champ magnétique à l'intérieur du solénoïde est finalement indépendant de r et on a : Comme montré ci-dessus, le champ magnétique | m θ {\displaystyle \phi =\tan ^{-1}\left|{\frac {\xi }{a-r}}\right|} Par identification on a : s’écrit : ) ⁡ solen "tuyau, conduit" + gr. μ a Le modèle du solénoïde infini constitue la base de l'étude théorique des solénoïdes réels. ( A.K. + ξ {\displaystyle \theta } ξ d = sur ordinateur, on obtient une description du champ magnétique créé par un solénoïde fini. 2 et de rayon − k sin {\displaystyle A_{\theta }={\frac {a\mu nI}{2\pi }}\left[sin\theta \ln \left[\xi +{\sqrt {\xi ^{2}+r^{2}+a^{2}-2arcos\theta }}\right]_{\xi _{-}}^{\xi _{+}}\right]_{\theta =0}^{\theta =\pi }-{\frac {a\mu nI}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\left[{\frac {arsin^{2}\theta d\theta }{(\xi +{\sqrt {\xi ^{2}+r^{2}+a^{2}-2arcos\theta }}){\sqrt {\xi ^{2}+r^{2}+a^{2}-2arcos\theta }}}}\right]_{\xi _{-}}^{\xi _{+}}}. 2 1S. ⁡ , A ⋅ θ ∫ z On peut utiliser un transformateur relié à une pile. d 1 r {\displaystyle {\vec {B}}(r)} ] l B Le graphe ci-dessous représente le champ magnétique sur l'axe d'un solénoïde d'une série de N = 1000 spires de diamètre D = 2 cm, parcourues par un même courant I = 0,2 A et disposées régulièrement sur une longueur l = 80 cm. l , la valeur de × θ B c est une intégrale elliptique de première espèce et Lorsqu'on déconnecte la pile, une forte énergie apparait ce qui permet au transformateur de jouer le rôle de survolteur. c 2 Quand on impose un courant électrique à travers le fil, un champ magnétique est créé. a ξ 2 2 2 Mais n θ ) − ξ z En utilisant les formules trigonométriques : cos {\displaystyle B_{z}={\frac {\mu nI}{2}}\left[{\frac {\xi }{\sqrt {\xi ^{2}+a^{2}}}}\right]_{\xi _{-}}^{\xi _{+}}}. ) est la distance axiale du point d’origine vers le filament. En remplaçant z ( s 2 ∫ ] Si je ne prends pas un fil de diamètre fini, je me retrouve avec des champs qui augmentent à l'infini quand on se rapproche du fil. e l 2 2 Cours de physique Exercices de physique supérieur classe préparatoire l π Quand on arrête le courant, le champ magnétique s’arrête et un ressort permet au dispositif de reprendre sa position initiale. vers 0, on a : B r c s Dans l'automobile pour des valves hydrauliques ou pneumatiques, pour le verrouillage des sélecteurs de boites de vitesse, pour le contrôle de la climatisation, pour le système de sécurité, ou pour les joy-stick des jeux de simulation de conduite. r L θ [ l En Tesla (T). . a A μ z ξ Le champ magnétique d’un solénoïde infini a pour norme à l’intérieur du solénoïde et il est nul à l’extérieur. + , et en réarrangeant les termes, on obtient finalement : A s a En intégrant les équations de B [ r ( {\displaystyle \mu } 0 = s s d − ξ → d ξ s 5 –Solénoïde infini (de section transverse quelconque) : On considère un solénoïde infini de section transverse quelconque composé de spires jointives parcourues par un courant d’intensité I ; onnote n le nombre de spires par unité de longueur. I . 1 ∫ ℓ 0 [ On considère un solénoïde infini de section transverse quelconque composé. + a → B {\displaystyle A_{\theta }={\frac {\mu I}{4\pi }}\oint {\frac {acos\theta d\theta }{R}}} L'électroaimant est aussi utilisé pour de nombreuses applications et utilise le solénoïde linéaire et le solénoïde rotatif expliqué ci-dessous. Le théorème d'Ampère appliqué sur le contour ABCD donne : La relation de Chasles permet de décomposer l'intégrale en somme de quatre intégrales : e Norme : le champ magnétique dans le vide est proportionnel à l’intensité du courant qui le crée. π Le modèle du solénoïde infini constitue la base de l'étude théorique des solénoïdes réels. cos 0 On peut alors voir des bobines en supraconducteur, appelées SMES (Superconducting Magnet Energy Storage). r λ l e eidos "en forme de [1]") est un dispositif constitué d'un fil électrique enroulé régulièrement en hélice de façon à former une bobine longue. , avec A et B uniformes dans tout l'espace, sauf à l'intérieur du solénoïde. ) d ( Dans un premier temps, calculons la contribution au champ magnétique. 2 Afin d’exprimer la composante axiale θ 2 2 {\displaystyle L} i ) s Par conséquent l'intégrale sur le segment CD (situé à l'extérieur du solénoïde) est nulle. ) = ) ] Si l’on regarde la carte du champ magnétique créé par un fil infini (ou une spire circulaire), on constate que la circulation du champ magnétique le … Les équations que nous allons établir vont permettre de déterminer le champ axial et radial en n’importe quel point de l’espace, à l’intérieur ou à l’extérieur du solénoïde. t − n + N 2 B r = π {\displaystyle B_{r}} + ) a en x = 0 et 2 0 Alors que pour un solénoïde infini, je n'ai pas le problème. o θ θ = a , ξ ) Ceci correspond au fait que la source du champ magnétique à l'origine de la force électromotrice dans un circuit est le courant électrique parcourant ce même circuit. Par identification on a : − 2 r B ) Portail de l’électricité et de l’électronique, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Solénoïde_infini&oldid=155233442, Portail:Électricité et électronique/Articles liés, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence. ( 2 + On introduit parfois un noyau de fer doux sur l'axe, qui assure la diffusion du champ magnétique et augmente l'inductance. θ 2 [ l r + s ( − 2 x ∂ x {\displaystyle a} θ 2) Quelle est l’énergie magnétique de la bobine ? On cherche à calculer le champ magnétique à l'intérieur du solénoïde. 0 ] a a o e Par unité de longueur on a donc . a + a Lorsqu’on applique un courant, le champ magnétique va pousser l’armature en dehors du solénoïde. a θ 103 spires par mètre, et parcouru par un courant I = 0,23 A. Déterminer la norme B du champ magnétique à l’intérieur du solénoïde. r c 2 2 2 − est le rayon de la spire, θ {\textstyle x={\frac {R}{\tan(\theta )}}} On considère un solénoïde infini d'axe (Oz), de rayon R, constitué de n spires par unité de longueur, chacune étant parcourue par une intensité I. . r + 2 All structured data from the file and property namespaces is available under the Creative Commons CC0 License; all unstructured text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License; additional terms may apply. On constate qu’augmenter la longueur du solénoïde fait décroître la variation radiale du champ axial, c'est-à-dire que le champ axial devient de plus en plus uniforme le long du solénoïde. a 2 2 = 2 μ 2 I . 2 Pour des solénoïdes de courtes longueurs, le champ axial augmente rapidement du centre du solénoïde vers les extrémités du solénoïde. + N {\displaystyle A_{\theta }={\frac {a\mu nI}{2\pi }}\int _{\xi _{-}}^{\xi _{+}}d\xi \int _{0}^{\pi }{\frac {cos\theta d\theta }{\sqrt {\xi ^{2}+r^{2}+a^{2}-2arcos\theta }}}}. l − 2 0 I d μ ) + o ⁡ r ) = {\displaystyle \int _{A}^{B}{\vec {B}}(r)\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}+\int _{C}^{D}{\vec {B}}(r)\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}=\mu _{0}\,i\,N} θ On retrouve le cas particulier du solénoïde infiniment long. Contour (2) : on obtient le même résultat, c’est à dire un champ uniforme à l’extérieur. z + {\displaystyle L={\frac {\mu _{0}\,l}{2\pi }}\ln \left({\frac {a}{b}}\right)} ℓ a Lorsqu'on dispose de distributions très symétriques ou infinies, il est souvent plus simple d’utiliser le théorème d'Ampère pour calculer le champ magnétique engendré par la distribution : . Servir d'interrupteur commandé dans le cadre de la régulation magnétique. c π μ c {\displaystyle \cos \theta _{1}={\frac {2x-l}{2{\sqrt {(l-2x)^{2}+D^{2}}}}}}, Finalement : L’intérieur d’un solénoïde est un cylindre mobile de fer ou d’acier appelé sous différents noms : armature, plongeur ou noyau. ξ μ , où L est l'inductance. Le plan (O,r,z) dans le repère cylindrique est un plan d’anti-symétrie de la distribution de courant. r − 2 ( ∂ B ) Donc, le champ magnétique est uniforme à l’intérieur du solénoïde (parce qu’il est infini). ( Flux du champ magnétique; Circulation du champ magnétique Théorème de Stokes; Théorème d’Ampère; Exemples de calcul de B Fil rectiligne infini; Fil rectiligne épais; Solénoïde infini; Bobine torique; Énergie magnétique Inductance propre d’un circuit seul dans l’espace Définition; Calcul dans le cas d’un solénoïde … π {\displaystyle {\vec {B}}} r → Une longueur ℓ de solénoïde contient donc l’énergie . l − θ 2 = Pour cela on définit un contour d'Ampère (contour fermé et orienté) : on considère un rectangle ABCD de longueur AB = l (cf. 1.3. x I Une description de la corde de Dirac par le biais d'un solénoïde permet surtout la construction d'un potentiel vecteur du champ magnétique dans tout l'espace sauf la corde elle-même[10]. a ( 2 ) d t μ + o {\displaystyle ({\vec {e}}_{r},{\vec {e}}_{\theta },{\vec {e}}_{z})} Il existe des calculateurs sur Internet pour calculer l'inductance selon la géométrie[7]. x → 0 Il peut être utilisé en tant que bobine simple.
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